Арифметические действия в восьмеричной системе счисления

При наладке аппаратных средств ЭВМ или создании новой программы возникает необходимость "заглянуть внутрь" памяти машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последователь­нос­тя­ми нулей и единиц двоичных чисел. Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел. Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, напри­мер, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит - 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требу­ется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы. Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взя­ли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.

В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь раз­лич­ных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы - 8. При записи отрица­тель­ных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сло­же­ние, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмерич­ной системе, выполняются весьма просто, подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления.

Пример выполнения операции сложения в восьмеричной системе счис­ления:

1   1                     Красным цветом показан перенос из младших разрядов в старшие.

4 7 6                  Выполнение операции в каждом разряде:

⁺  3 4                1) 6 + 4 = 10 = 1*8 + 2 = 12₈   

5 3 2                2) 1 + 7 + 3 = 1*8 + 3 = 13₈ 

                    3) 1 + 4 = 5

Проверим результат путем перевода чисел в десятичную систему счис­ления :

476₈  = 4*8² + 7*8 + 6 = 318                        318

34₈ = 3*8 + 4 = 28                                        ⁺28

532 = 5*8² + 3*8 + 2 = 346                          346

Пример выполнения операции вычитания в восьмеричной системе счис­ления:

     7  8                     Красным цветом показан перенос из старших разрядов в младшие.

5 3 2                  Выполнение операции в каждом разряде:

^-   3 4                1) 8 + 2 – 4 = 6  

4 7 6                2) 7 + 2 - 3 = 1*8 + 3 = 13₈ 

   3) 1 + 4 = 5

Пример выполнения операции умножения в восьмеричной системе счис­ле­ния:

  5 4                             54              4*4 = 16 = 2*8 + 0 = 20₈ (записываем 0)

^* 3 4                            ^*   4              2+ 5*4 = 22 = 2*8 + 6 = 26₈

    2 6 0                            260

  ⁺ 2 0 4                          

   2 3 2 0                             54              4*3 = 12 = 1*8 + 4 = 14₈ (записываем 4)

                                           ^*   3                      1 + 5*3 = 16 = 2*8 + 0 = 20₈

                                          204

Выполним проверку:

54₈ = 5*8 + 4 = 44₁₀                                               44

34₈ = 3*8 + 4 = 28₁₀                                                        ^*   28

2320₈ = 2*8³ + 3*8² + 2*8  = 1232₁₀                              352

                                                                           ⁺ 88      = 1232₁₀

Пример выполнения операции деления в восьмеричной системе счис­ле­ния:

       2 3 2 0₈         5 4₈

       ^- 2 0 4          3 4₈

    2 6 0

^-  2 6 0

    0

Деление в восьмеричной системе близко делению в десятичной системе: нужно подобрать цифры частного. 232 делим на 54, в десятичной системе мы получили бы целое частное 4, но из предидущего примера мы знаем, что в восьмеричной системе 54*4 = 260, это много, попробуем взять цифру поменьше – 3, умножаем 54*3 = 204, эта цифра подходит, и т.д.

В различных языках про­грам­мирования запись восьмеричных чисел начинается с 0, например, запись 011 означает десятичное число 9.